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Sep 02, 2023

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 6562 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Um die Fasersteifigkeit von Fasern mit endlichem Radius zu modellieren, basierten frühere Modelle mit endlicher Dehnung (nichtlinear) hauptsächlich auf der Theorie der nichtlinearen Dehnungsgradiententheorie (zweiter Gradient) oder der Kirchhoff-Stabtheorie. Wir stellen fest, dass diese Modelle das mechanische Verhalten polarer transversal isotroper Festkörper mit unendlich vielen rein flexiblen Fasern mit einem Radius von Null charakterisieren. Um den Effekt der Faserbiegesteifigkeit auf rein flexible Fasern mit einem Radius von Null einzuführen, gingen diese Modelle von der Existenz von Paarspannungen (Kontaktdrehmomenten) und nicht symmetrischen Cauchy-Spannungen aus. Bei Verformungen tatsächlich unpolarer elastischer Festkörper, die durch Fasern mit endlichem Radius verstärkt sind, treten diese Spannungen jedoch nicht auf. Darüber hinaus ist die Implementierung von Randbedingungen für Zweitgradientenmodelle nicht einfach und die Diskussion über die Wirksamkeit von Dehnungsgradienten-Elastizitätsmodellen zur mechanischen Beschreibung von Kontinuumsfestkörpern ist noch im Gange. In dieser Arbeit entwickeln wir eine Materialgleichung für einen nichtlinearen, unpolaren, elastischen Festkörper, der durch eingebettete Fasern verstärkt ist, wobei der elastische Widerstand der Fasern gegen Biegung über die klassischen Zweige der Kontinuumsmechanik modelliert wird, wo die Theorie entwickelt wurde von Spannungen basiert auf unpolaren Materialien; das heißt, ohne die zweite Gradiententheorie zu verwenden, die mit Paarspannungen und nichtsymmetrischen Cauchy-Spannungen verbunden ist. Vor diesem Hintergrund ist das vorgeschlagene Modell einfach und etwas realistischer im Vergleich zu früheren Modellen des zweiten Gradienten.

In neueren technischen Anwendungen werden häufig faserverstärkte Verbundwerkstoffe eingesetzt. Das schnelle Wachstum in der Fertigungsindustrie hat dazu geführt, dass die Materialien im Hinblick auf Festigkeit, Steifigkeit, Dichte und geringere Kosten bei verbesserter Nachhaltigkeit verbessert werden müssen. Faserverstärkte Verbundwerkstoffe haben sich als eines der Materialien herausgestellt, die eine solche Verbesserung der Eigenschaften aufweisen und ihr Potenzial in einer Vielzahl von Anwendungen nutzen1,2,3,4. Die Verwendung natürlicher synthetischer oder natürlicher Fasern bei der Herstellung von Verbundwerkstoffen hat zu bedeutenden Anwendungen in einer Vielzahl von Bereichen wie Biomedizin, Automobil, Maschinenbau, Bauwesen, Schifffahrt und Luft- und Raumfahrt geführt5,6,7,8. In der Biomechanik können einige Weichteile als faserverstärkte Verbundmaterialien modelliert werden9,10. Im modernen Schwermaschinenbau werden die schweren traditionellen Materialien nach und nach durch faserverstärkte Polymerverbundstrukturen mit geringerem Gewicht und höherer Festigkeit ersetzt. Diese Bauwerke, wie z. B. Eisenbahnstrecken und Brücken, sind ständig der Einwirkung dynamischer Bewegungslasten ausgesetzt, die durch den fließenden Fahrzeugverkehr verursacht werden. Daher ist in Anbetracht des oben Gesagten eine strikte Konstruktion eines mechanischen Materialmodells, das auf der fundierten Theorie der Kontinuumsmechanik basiert, für unpolare faserverstärkte Festkörper von größter Bedeutung und von großem Interesse für technische Konstruktionen und würde viele finden praktische Anwendungen.

Die lange Geschichte11,12,13 der Mechanik unpolarer faserverstärkter Festkörper hat das Wissen über die Festkörpermechanik im Allgemeinen erheblich bereichert und erweitert. Ein Randwertproblem für einen unpolaren elastischen Festkörper, der durch Fasern (mit endlichem Radius) verstärkt ist, kann mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) gelöst werden, wenn kleine Elemente die Fasern vernetzen dürfen. Wenn wir die Fasern als isotropen Feststoff betrachten, aber andere Materialeigenschaften als die Eigenschaften der Matrix (Material, das nicht auf die Fasern zurückzuführen ist) aufweisen, können wir eine inhomogene Dehnungsenergiefunktion verwenden

bei der Lösung des FEM-Problems, wobei \(\lambda _1,\lambda _2\) und \(\lambda _3\) die Hauptstrecken sind. Wir stellen fest, dass aufgrund des endlichen Radius der Fasern ein Biegewiderstand aufgrund von Änderungen in der Krümmung der Fasern beobachtet wird. Wenn der Faserradius jedoch sehr klein ist, kann die Vernetzung der Fasern und der Matrix problematisch sein und daher ist es möglicherweise nicht möglich, über die FEM eine Grenzwertlösung zu finden. Um dieses Problem mit erheblich kleinen Radien zu überwinden, kann eine FEM-Lösung unter Verwendung einer querelastischen Dehnungsenergiefunktion erhalten werden13

Dabei ist \({\varvec{U}}\) der Rechtsstreckungstensor und \({\varvec{a}}\) der bevorzugte Einheitsvektor in der Referenzkonfiguration. Wir stellen fest, dass dieses transversal isotrope Modell unendlich viele rein flexible Fasern mit einem Radius von Null enthält; Daher kann dieses Modell den elastischen Widerstand aufgrund von Änderungen in der Krümmung der Fasern nicht modellieren. Wir betonen, dass die Cauchy-Spannung sowohl im isotropen als auch im transversal-isotropen Modell symmetrisch ist und dies tatsächlich in einem unpolaren Festkörper ohne Paarspannung beobachtet wird. Um den Effekt des elastischen Widerstands aufgrund von Änderungen in der Krümmung der Fasern zu modellieren, wurden neuere Modelle14,15,16,17 entwickelt, die auf der Grundlage der nichtlinearen Dehnungsgradiententheorie oder der Kirchhoff-Stabtheorie18 basieren. Wir stellen fest, dass diese Modelle des zweiten Gradienten das mechanische Verhalten von (polaren) transversal isotropen Festkörpern mit unendlich vielen rein flexiblen Fasern mit einem Radius von Null charakterisieren. Um jedoch den Effekt der Faserbiegesteifigkeit auf rein flexible Fasern mit einem Radius von Null zu simulieren, führen die Modelle des zweiten Gradienten die Existenz einer Paarspannung und einer nicht symmetrischen Cauchy-Spannung in die Stoffgleichungen ein; Wir müssen betonen, dass diese beiden Spannungen bei Verformungen von tatsächlichen unpolaren elastischen Festkörpern, die durch Fasern mit endlichem Radius verstärkt sind, nicht vorhanden sind. Im Allgemeinen werden Modelle mit höherer Gradientenelastizität verwendet, um mechanische Strukturen auf der Mikro- und Nanoskala zu beschreiben oder um bestimmte schlecht gestellte Probleme mithilfe dieser höheren Gradientenbeiträge zu regulieren. Die Diskussion über die Wirksamkeit von Modellen mit höherer Gradientenelastizität zur mechanischen Beschreibung von Kontinuumsfestkörpern ist noch im Gange19,20,21.

Das Ziel dieser Arbeit besteht daher darin, ein Näherungsmodell zur Simulation des mechanischen Verhaltens tatsächlicher unpolarer elastischer Festkörper vorzuschlagen, die durch Fasern mit endlichem Radius verstärkt sind, wobei die Cauchy-Spannung symmetrisch ist und der Biegewiderstand der Fasern durch Änderungen in der Krümmung des Körpers verursacht wird Fasern. Wir konzentrieren uns auf Änderungen der Faserkrümmung, da diese Änderungen in Verbundfestkörpern eine wichtige Rolle für das mechanische Verhalten von Festkörpern spielen. Da unser Modell unendlich viele Fasern mit einem Radius von Null enthält, schließen wir die Auswirkungen der Faserverdrehung aus. Tatsächlich haben Spencer und Soldatos17 das festgestellt

„Dabei schließen wir Effekte aufgrund von Faserspreizung und Faserverdrillung aus, die beide in der Flüssigkristalltheorie vorkommen, aber es ist plausibel, dass bei Faserverbundfestkörpern die Faserkrümmung der Hauptfaktor ist.“

Unser vorgeschlagenes Modell erfordert keine Paarspannungen (die in tatsächlichen unpolaren elastischen Festkörpern, die durch Fasern mit endlichem Radius verstärkt sind, nicht beobachtet werden), um den elastischen Widerstand der Fasern gegenüber Biegung zu beschreiben.

Bei der Modellierung wird der spektrale Ansatz14,22 verwendet, der in den Abschn. „Vorbereitungen“ und „Dehnungsenergiefunktion“, wobei in Abschn. „Dehnungsenergiefunktion“ Eine Dehnungsenergiefunktion enthält einen Vektor, der die Änderungen der Faserkrümmung steuert. Ein Prototyp der Dehnungsenergie wird in Abschn. „Dehnungsenergie-Prototyp“ und Randwertprobleme zur Untersuchung der Wirkung des Faserbiegewiderstands werden in Abschn. 2.1 vorgestellt. „Randwertproblem“.

Verformung aufgrund der Anwendung von Grenzverschiebung und Grenzzug. \(B_r\) ist die Referenzkonfiguration (undeformiert), \(B_t\) ist die aktuelle Konfiguration, \({\varvec{x}}\) und \({\varvec{y}}\) sind jeweils die Positionsvektoren von X in der Referenz- und der aktuellen Konfiguration, wobei X ein generisches Teilchen des Festkörpers darstellt.

In dieser Mitteilung nehmen alle Indizes i, j und k die Werte 1,2,3 an, sofern nicht anders angegeben. In Bezug auf spektrale Invarianten wird der Deformationsgradient \({\varvec{F}}\) beschrieben durch

wobei \({\varvec{y}}\) und \({\varvec{x}}\) jeweils die Positionsvektoren eines Festkörperteilchens in der aktuellen und Referenzkonfiguration bezeichnen (siehe Abb. 1); \(\lambda _i\) ist eine Hauptstreckung, \({\varvec{v}}_i\) ist ein Eigenvektor des linken Streckungstensors \({\varvec{V}}= {\varvec{F}}( \lambda _i,{\varvec{v}}_i,{\varvec{v}}_i)\) und \({\varvec{u}}_i\) ist ein Eigenvektor des Rechtsstreckungstensors \({\ varvec{U}}= {\varvec{F}}(\lambda _i,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i)\). Beachten Sie, dass der rechte Cauchy-Green-Tensor \({\varvec{C}}= {\varvec{F}}(\lambda _i^2,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i) \) und der Rotationstensor \({\varvec{R}}= {\varvec{F}}(\lambda _i=1,{\varvec{v}}_i,{\varvec{u}}_i)\) , wobei \({\varvec{F}}={\varvec{R}}{\varvec{U}}\). Wir betrachten nur inkompressible elastische Festkörper, wobei \(\det {\varvec{F}}=1\), \(\det\) die Determinante eines Tensors angibt und die Wirkung von Körperkräften als vernachlässigbar angenommen wird. Die Summationskonvention wird hier nicht verwendet.

Um die Kinematik der eingebetteten Fasern zu modellieren, gehen wir davon aus, dass der Körper ein homogenisiertes Kontinuum ist, das aus Matrixmaterial und Fasern zusammen besteht. Wir modellieren dieses Material, indem wir einen transversal elastischen Festkörper mit den bevorzugten Einheitsrichtungen \({\varvec{a}}({\varvec{x}})\) in der Referenzkonfiguration betrachten und diese bevorzugten Richtungen zum Vektor werden

in der aktuellen Konfiguration, wobei \({\varvec{f}}\) ein Einheitsvektor ist. In unserem vorgeschlagenen Modell ist die Richtungsableitung des Fasereinheitsvektors in Faserrichtung, d. h.

spielt eine wichtige Rolle bei der Modellierung des elastischen Widerstands aufgrund von Krümmungsänderungen der Fasern. Vor diesem Hintergrund geben wir in (5) einen Vektor \({\varvec{d}}\) an, der mit \({\varvec{c}}\) verknüpft ist (wir werden die Assoziation später klarstellen), der unabhängig von ist \({\varvec{F}}\), also 14,15

Wo

\({\bar{{\varvec{F}}}}({\varvec{x}})\) ist der von \({\varvec{F}}\ unabhängige Deformationstensor, d. h. \({\ varvec{d}}\) ist nicht in die Matrix eingebettet, und so ist im Allgemeinen sein Bild \({\bar{{\varvec{F}}}}^{-T}{\varvec{d}}\) in Die aktuelle Konfiguration steht in keinem direkten Zusammenhang mit der Verformung der Matrix. Aus (6) ergibt sich eindeutig \({\varvec{d}}\cdot {\varvec{a}}=0\) (siehe Abbildung 2 für die geometrische Interpretation). Wenn wir \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\ setzen, dann haben wir die Assoziation \({\varvec{c}}= {\varvec{F} }^{-T}{\varvec{d}}\)14,15. Um den Modellierungsprozess zu erleichtern, drücken wir den Vektor aus

wobei \({\varvec{k}}\) ein Einheitsvektor mit der Eigenschaft \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{k}}=0\) ist. Um den elastischen Widerstand aufgrund von Krümmungsänderungen der Fasern zu modellieren, gehen wir von der objektiven Dehnungsenergie aus

für jeden Rotationstensor \({\varvec{Q}}\). Nachfolgend kann die Arbeit von Shariff22,23, W durch die spektralen Invarianten charakterisiert werden

und der Skalierer \(\rho\), wobei \(\lambda _i\) und \({\varvec{u}}_i\) jeweils die Eigenwerte und Eigenvektoren von \({\varvec{U}}\ sind ). Daher können wir uns ausdrücken

Beachten Sie, dass \({W}_{(a)}\) die in24 beschriebene P-Eigenschaft erfüllen muss, die mit der Koaleszenz der Hauptstrecken \(\lambda _i\) verbunden ist. Im Hinblick darauf, dass W unabhängig vom Vorzeichen von \({\varvec{a}}\) und \({\varvec{d}}\) sein sollte, drücken wir aus

Geometrische Bedeutung von Richtungsableitungsvektoren: \({\varvec{F}}\ne {\bar{{\varvec{F}}}}\, \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{d }}={\varvec{b}}\cdot {\varvec{c}}= {\bar{{\varvec{b}}}}\cdot {\bar{{\varvec{c}}}} = 0 \), \({\bar{{\varvec{b}}}} = {\bar{{\varvec{F}}}}{\varvec{a}}=\iota {\bar{{\varvec{ f}}}}\), und \({\bar{{\varvec{c}}}} = {\displaystyle \frac{\partial {\bar{{\varvec{f}}}}}{\partial {\varvec{x}}}}{\varvec{a}}\).

Die Auswertung von Spannungstensoren erfordert spektrale Lagrange-Spektraltensorkomponenten von \({\displaystyle \frac{\partial W}{\partial {\varvec{C}}}}\), d. h.

Die Eulerschen Spektralkomponenten der Cauchy-Spannung \({\varvec{T}}\) für einen inkompressiblen Körper bezüglich der spektralen Eulerschen Basis \(\{ {\varvec{v}}_1,{\varvec{v}} _2,{\varvec{v}}_3\}\) sind

In diesem Artikel stellen wir im Anschluss an die Arbeit von Shariff22 einen Prototyp einer Dehnungsenergiefunktion vor, der die P-Eigenschaft erfüllt. Wir betonen, dass unsere vorgeschlagene nichtlineare Dehnungsenergiefunktion mit der Theorie der infinitesimalen Elastizität übereinstimmt. Um diese Konsistenz zu gewährleisten, beginnen wir mit der Konstruktion unseres nichtlinearen Prototyps mit der Entwicklung seines Gegenstücks zur infinitesimalen Dehnungsenergie.

Bevor wir Dehnungsenergie-Prototypen für endliche Dehnungsverformungen konstruieren, geben wir eine kurze Beschreibung der unendlich kleinen Elastizität. Wenn der Gradient des Verschiebungsfeldes \({\varvec{u}}\) sehr klein ist

wobei \(\Vert \bullet \Vert\) eine geeignete Norm ist und die Größe von e viel kleiner als eins ist. Bis zu O(e),

wobei \({\varvec{E}}\) die unendlich kleine Dehnung ist. Die allgemeinste quadratische Form der Dehnungsenergiefunktion ist

Wo

wobei \(\mu , \mu _1, \mu _2, \kappa _1, \kappa _2,\kappa _3\) Materialkonstanten im Grundzustand sind und ihre Einschränkungen im Online-Anhang A angegeben sind.

Wir schlagen eine Energiefunktion mit endlicher Dehnung vor, die mit ihrem infinitesimalen Gegenstück übereinstimmt. Dies lässt sich in Anlehnung an die Arbeit von Shariff22 leicht bewerkstelligen, indem man die obige Funktion der infinitesimalen Spannungsenergie unter Verwendung spektral verallgemeinerter Spannungen für endliche Verformungen erweitert. Die vorgeschlagene Dehnungsenergiefunktion ist

Wo

mit den Eigenschaften22

Gegebenenfalls könnten wir auch die folgende Eigenschaft \(r_\alpha\) einschließen, um physikalische Dehnungsmaße mit den extremen Verformungswerten darzustellen

Wir könnten (21) leicht auf (23) erweitern, um eine allgemeinere Spannungsenergiefunktion zu konstruieren (siehe Beispiel 22), aber die im Abschnitt vorgeschlagene Spannungsenergiefunktion sollte ausreichen, um unser Modell zu veranschaulichen.

Um unsere Theorie zu veranschaulichen, betrachten wir zwei einfache Verformungen, reine Biegung und endliche Torsion eines geraden Kreiszylinders, deren Verschiebungen bekannt sind. Für Randwertprobleme, bei denen die Verschiebungen unbekannt sind, wird die Konstruktion von Lösungen im Online-Anhang B beschrieben.

Um die Ergebnisse in diesem Abschnitt darzustellen, verwenden wir der Einfachheit halber

und die Grundzustandswerte

sind diejenigen, die mit Skelettmuskelgewebe verbunden sind10,25. Da unser Modell neu ist und keine experimentellen Werte für die folgenden Grundzustandskonstanten der Biegesteifigkeit vorliegen, verwenden wir die Ad-hoc-Werte

um die Diagramme zu zeichnen. Beachten Sie, dass die oben genannten Werte die in Anhang A angegebenen Einschränkungen erfüllen.

Biegen eines rechteckigen Blocks in einen Abschnitt eines zylindrischen Rohrs.

Betrachten Sie das Problem der reinen Biegung bei ebener Dehnung, dargestellt in Abb. 3, bei dem eine rechteckige Platte aus inkompressiblem Material in einen Sektor eines Kreisrings gebogen wird, der durch definiert ist

wobei \((r,\theta ,z)\) die zylindrische Polarkoordinate für die aktuelle Konfiguration ist und \((x_1,x_2,x_3)\) die kartesische Referenzkoordinate mit der Basis \(\{ {\varvec{ g}}_1 , {\varvec{g}}_2, {\varvec{g}}_3 ={\varvec{e}}_z \}\).

Die hier verwendete Formel könnte verwendet werden, um unsere Theorie mit einem Experiment zu vergleichen (z. B. einem Dreipunkt-Biegetestexperiment, das in Referenz 26 beschrieben wird).

Der Deformationstensor hat die Form

Aus der Inkompressibilitätsbedingung \(\det {\varvec{F}}=1\) und den Randbedingungen \(\theta (0)=0\) und \(r(A)=a\) erhalten wir

wobei \(r(B) = b\). Angesichts von (3), (30) und (31) gilt also

und die spektralen Basisvektoren sind \({\varvec{u}}_i={\varvec{g}}_i\), \({\varvec{v}}_1={\varvec{e}}_r\), \({\varvec{v}}_2={\varvec{e}}_\theta\) und \({\varvec{v}}_3={\varvec{e}}_z\).

In diesem Abschnitt untersuchen wir den Fall \({\varvec{a}}={\varvec{g}}_2\), also \(a_1=a_3=0\) und \(a_2=1\). Wenn wir \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\ setzen, erhalten wir

Die Dehnungsenergiefunktion wird vereinfacht, d. h

Die Cauchy-Spannungskomponenten ungleich Null werden einfach zu

wobei \(\sigma _1=\sigma _{rr}\), \(\sigma _2=\sigma _{\theta \theta }\) und \(\sigma _3=\sigma _{zz}\) zylindrisch sind Komponenten der Cauchy-Spannung. Da \(\sigma _i\) nur von r abhängt, lautet die Gleichgewichtsgleichung einfach

Wenn wir annehmen, dass \(\sigma _{rr} = 0\) bei \(r = b\), dann gilt

Daher können wir bewerten

und mit dem obigen Ausdruck für p erhalten wir die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für \(\sigma _{\theta \theta }\) und \(\sigma _{zz}\). Das Biegemoment \({\mathcal {M}}\) und die Normalkraft \({\mathcal {N}}\) pro Längeneinheit in der \(x_3\)-Richtung, angewendet auf einen konstanten Abschnitt \(\theta\), sind

In Abb. In den Abbildungen 4 und 5 wird das Verhalten der Radial- bzw. Umfangsspannungen mit \({\displaystyle \frac{\chi }{B}}=1\) dargestellt und das Material wird zu \({\displaystyle \frac {a}{B}}=1\). Aus diesen Zahlen geht klar hervor, dass die Größe der Spannungen bei einem elastischen Festkörper mit Faserbiegewiderstand höher ist als bei einem Festkörper mit vollkommen flexiblen Fasern.

Radiales Spannungsverhalten \(\sigma_{rr}\). (a) Elastischer Feststoff mit Faserbiegewiderstand. (b) Elastischer Feststoff ohne Faserbiegewiderstand.

Radiales Spannungsverhalten \(\sigma _{\theta \theta }\). (a) Elastischer Feststoff mit Faserbiegewiderstand. (b) Elastischer Feststoff ohne Faserbiegewiderstand.

Die \({\mathcal {M}}\)-Werte für ein Material mit und ohne Faserbiegewiderstand betragen 46,44514245 kPaM\(^2\) bzw. 35,55851694 kPaM\(^2\). Die \({\mathcal {N}}\)-Werte für ein Material mit und ohne Faserbiegewiderstand betragen 30,58637503 kPaM bzw. 23,29228593 kPaM. Daher erhöht die Biegesteifigkeit den Betrag von \({\mathcal {M}}\) und \({\mathcal {N}}\).

In diesem Abschnitt betrachten wir einen inkompressiblen dickwandigen kreisförmigen zylindrischen Ring mit der Ausgangsgeometrie

wobei R, \(\Theta\) und Z Referenzpolarkoordinaten mit der entsprechenden Basis \(B_R=\{ {\varvec{E}}_R,{\varvec{E}}_\Theta ,{\varvec{E }}_Z \}\). Das hier dargestellte Randwertproblem könnte in einem Experiment (siehe beispielsweise Referenz 27) verwendet werden, um unsere theoretischen Vorhersagen zu überprüfen.

Die Verformung ist in Abb. 6 dargestellt und wird beschrieben durch

Dabei ist \(\tau\) das Ausmaß der Torsionsverdrehung pro verformter Längeneinheit und \(\lambda _z\) die axiale Dehnung. In der obigen Formulierung sind r, \(\theta\) und z zylindrische Polarkoordinaten in der deformierten Konfiguration mit der entsprechenden Basis \(B_C=\{ {\varvec{e}}_r,{\varvec{e}}_ \theta ,{\varvec{e}}_z \}\). Hier haben wir \({\varvec{e}}_r={\varvec{E}}_R\), \({\varvec{e}}_\theta ={\varvec{E}}_\Theta zugelassen \) und \({\varvec{e}}_z={\varvec{E}}_Z\). Der Verformungsgradient beträgt

wobei \(\gamma =r\tau\) und in dieser Arbeit betrachten wir nur \(\lambda _z \ge 1\). Die Lagrange-Hauptrichtungen sind:

Wo

mit

Im Fall der reinen Torsion ist \(\lambda _z=1\) und es gilt \({\hat{\gamma }}=\gamma\). Die Hauptdehnungen für eine kombinierte Dehnung und Torsionsverformung sind

Torsion und Streckung eines Zylinders.

In diesem Abschnitt betrachten wir den Fall, wenn \({\varvec{a}}={\varvec{E}}_z\), also \(a_1=0\), \(a_2=s\) und \(a_3 =c\). Wenn wir \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\) setzen und verwenden

wir erhalten

Die Dehnungsenergiefunktion nimmt dann die Form an

Der Cauchy-Stress

Angesichts von \({\varvec{a}}\equiv [0,0,1]^T\) gilt \(a_1=0\), \(a_2=s\) und \(a_3=c\ ) Und

Wo

Die an den Enden des Zylinders wirkende Normalkraft \({\mathcal {N}}\) und das Drehmoment pro Einheit der verformten Fläche \({\mathcal {M}}\) sind wie folgt:

Um den hydrostatischen Druckterm in (54)\(_1\) zu entfernen, verwenden wir die Gleichgewichtsbeziehung

und formulieren Sie (54)\(_1\) in der Form um

Aus Abb. 7 wird deutlich, dass wir für eine axiale Dehnung \(\lambda _z=1,5\) mehr Drehmoment benötigen, um einen elastischen Vollzylinder mit Faserbiegesteifigkeit zu verdrehen.

Drehmoment, \({\mathcal {M}}\) versus \(\tau\). (a) Elastischer Festkörper mit Faserbiegesteifigkeit. (b) Elastischer Feststoff ohne Faserbiegesteifigkeit. \(\lambda _z=1,5\).

Wir haben den elastischen Widerstand aufgrund von Änderungen in der Krümmung der Fasern modelliert, ohne die zweite Gradiententheorie zu verwenden. Vor diesem Hintergrund ist das vorgeschlagene hyperelastische Modell einfach und enthält keine Paarspannungen (was in einem zweiten Gradientenmodell erforderlich ist). Daher ist das vorgeschlagene Modell realistischer in dem Sinne, dass ein kohlenstofffaserverstärktes Polymer ein unpolares Material ist, bei dem keine Paarspannungen existieren. In naher Zukunft werden FEM-Lösungen des vorgeschlagenen Modells vorliegen und wir werden dieses Modell auf Polymere erweitern, die mit einer Familie von zwei Fasern verstärkt sind.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem veröffentlichten Artikel [und seinen ergänzenden Informationsdateien] enthalten.

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Fakultät für Mathematik, Khalifa University of Science and Technology, Abu Dhabi, Vereinigte Arabische Emirate

MHBM Shariff

Abteilung für angewandte Mathematik auf IKT, ETS für Computersystemtechnik, Polytechnische Universität Madrid, 28031, Madrid, Spanien

J. Merodio

Fakultät für Maschinenbau, Universität Chile, Beauchef 851, Santiago Centro, Santiago, Chile

R. Bustamante

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MHBMS Schreiben – Originalentwurf, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit MHBM Shariff.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Shariff, MHBM, Merodio, J. & Bustamante, R. Ein Nicht-Zweitgradienten-Modell für nichtlineare elastische Körper mit Fasersteifigkeit. Sci Rep 13, 6562 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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Eingegangen: 3. Februar 2023

Angenommen: 17. April 2023

Veröffentlicht: 21. April 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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